17-10-2023
Мощность множества, или кардинальное число множества, — это обобщение понятия количества (числа) элементов множества, которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные.
Для мощностей множеств можно ввести отношение частичного порядка: если множество A равномощно некоторому подмножеству множества B (то есть между элементами этих множеств A и B можно установить взаимно однозначное соответствие), но при этом множество B неравномощно никакому подмножеству множества A, то говорят, что мощность множества B больше мощности множества A.
Среди бесконечных множеств наименьшую мощность имеет натуральный ряд ( говорят, что множество натуральных чисел — это счётное множество).
Следуя Кантору, мощность множества называется кардинальным числом. Мощность множества обозначается через (сам Кантор использовал обозначение ). Иногда встречаются обозначения и .
Содержание |
Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности. Класс множеств, биективно эквивалентных данному, не является, однако, множеством (подробнее о классах см. в книге: Келли. Общая топология. (Приложение в конце книги)).
Множество чётных целых чисел имеет такую же мощность, что и множество целых чисел . Определим так: . — биекция, поэтому
Мощность множества натуральных чисел обозначается символом («алеф-нуль»). Множество называется бесконечным, если его мощность , таким образом, счётные множества — это «самые маленькие» из бесконечных множеств. Следующие кардинальные числа в порядке возрастания обозначаются (где индекс пробегает все порядковые числа). Среди кардинальных чисел нет наибольшего: для любого множества кардинальных чисел существует кардинальное число, большее всех элементов этого множества.
Про множества, равномощные множеству всех вещественных чисел, говорят, что они имеют мощность континуума, и мощность таких множеств обозначается символом . Предположение о том, что называется континуум-гипотезой.
Для мощностей, как и в случае конечных множеств, имеются понятия: равенство, больше, меньше. То есть для любых множеств и возможно только одно из трёх:
Ситуация, в которой и не равномощны и ни в одном из них нет части, равномощной другому, невозможна. Это следует из теоремы Цермело. Иначе это означало бы существование несравнимых между собой мощностей (что в принципе возможно, если не принимать аксиому выбора).
Ситуация, в которой и , невозможна по теореме Кантора — Бернштейна.
Кардинальное число.