Равноме́рная непреры́вность в математическом и функциональном анализе — это свойство функции быть одинаково непрерывной во всех точках области определения.

Определения

Равномерная непрерывность числовых функций

Числовая функция вещественного переменного равномерно непрерывна, если

Здесь важно, что выбор зависит только от величины .

Равномерная непрерывность отображений метрических пространств

Пусть даны два метрических пространства и

Отображение называется равноме́рно непреры́вным на подмножестве если

Свойства

• Функция, равномерно непрерывная на множестве непрерывна на нём. Обратное, вообще говоря, неверно.
• (Теорема Кантора — Гейне) Функция, непрерывная на отрезке (компакте), равномерно непрерывна на нём.
• Любое липшицево отображение равномерно непрерывно.

Пример

Функция

непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной, так как при любом можно указать отрезок сколь угодно малой длины такой, что на его концах значения функции будут различаться больше, чем на Другой пример: функция

непрерывна на всей числовой оси, но не является равномерно непрерывной, так как

Для любого можно выбрать отрезок сколь угодно малой длины такой, что разница значений функции на концах отрезка будет больше В частности, на отрезке разница значений функции стремится к

См. также

• Модуль непрерывности;
• Равностепенная непрерывность.