Абсолютная геометрия — часть классической геометрии, независимая от пятого постулата евклидовой аксиоматики. Другими словами, это общая часть евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского.

Термин был предложен Яношем Бойяи в 1832 году. Правда, сам Бойяи вкладывал в него несколько иной смысл: он называл абсолютной геометрией специально разработанную им символику, которая позволяла объединять одной формулой теоремы как евклидовой геометрии, так и геометрии Лобачевского ^[1].

Первые 28 теорем «Начал» Евклида относятся к абсолютной геометрии. Приведём несколько примеров таких теорем:

• У равнобедренных треугольников углы при основании равны.
• При пересечении двух прямых вертикальные углы равны.
• Большей из двух сторон треугольника противостоит и больший угол, и наоборот, большему углу противостоит бо́льшая сторона.

Поскольку пятый постулат определяет метрические свойства однородного пространства, отсутствие его в абсолютной геометрии означает, что метрика пространства не определена, и большинство теорем, связанных с измерениями (например, теорема Пифагора) не могут быть доказаны в абсолютной геометрии.

Примерами других теорем, недоказуемых в абсолютной геометрии, являются многочисленные эквиваленты V постулата.

Примечания