14-06-2024
Гладкий инфинитезимальный анализ — это математически строгое переформулирование анализа в терминах инфинитезималей. Будучи основанным на идеях Ф. В. Ловера и используя методы теории категорий, он рассматривает все функции как непрерывные и невыражаемые через дискретные элементы. Как теория это раздел синтетической дифференциальной геометрии.
Нильпотентными инфинитезималями называют числа , удовлетворяющие условию ; при этом совсем не обязательно
Этот подход отходит от классической логики, используемой в обычной математике, отказываясь от закона исключенного третьего, утверждающего, что из следует В частности, для некоторых инфинитезималей нельзя доказать ни , ни . То, что закон исключенного третьего не может выполняться, видно из следующей основной теоремы:
Несмотря на это можно попробовать определить разрывную функцию, например, как
Если бы закон исключенного третьего выполнялся, это бы была полностью определенная, разрывная функция. Однако существует множество значений — инфинитезималей — для которых не выполняется ни , ни , так что эта функция определена не на всем R
В типичных моделях гладкого инфинитезимального анализа инфинитезимали не являются обратимыми, и следовательно эти модели не содержат бесконечных чисел. Однако также существуют модели с обратимыми инфинитезималями.
Существуют также другие системы, включающие инфинитезимали, например нестандартный анализ и сюрреальные числа. Гладкий инфинитезимальный анализ похож на нестандартный анализ в том, что он разработан как основание анализа, и инфинитезимали не имеют конкретных величин (в противоположность сюрреальным числам, в которых типичный пример инфинитезималя — , где — ординал фон Неймана). Однако гладкий инфинитезимальный анализ отличен от нестандартного анализа в том, что он использует неклассическую логику, и в том, что для него нарушается принцип переноса. Некоторые теоремы стандартного и нестандартного анализа ложны в гладком инфинитезимальном анализе, примерами служат теорема Больцано — Коши и парадокс Банаха — Тарского (последний доказуем в классической математике в рамках ZFC, но не доказуем в ZF). Утверждения на языке нестандартного анализа могут быть переведены в утверждения о пределах, но то же самое не всегда верно в гладком инфинитезимальном анализе.
Интуитивно, гладкий инфинитезимальный анализ можно интерпретировать как описывающий мир, в котором линии состоят из бесконечно малых отрезков, а не из точек. Эти отрезки можно считать достаточно длинными, чтобы иметь определенное направление, но не достаточно длинными, чтобы искривляться. Конструирование разрывных функций не удается потому, что функция отождествляется с кривой, а кривую нельзя сконструировать поточечно. Можно представить, что теорема Больцано — Коши не выполняется из-за способности инфинитезимального отрезка «перекидываться» через разрыв. Аналогично, парадокс Банаха — Тарского не выполняется потому, что область нельзя разделить на точки.
Бесконечно смотреть на три вещи, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 10 класс.