Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.

Определение

Пусть дано топологическое пространство , где — произвольное множество, а — определённая на топология. Пусть Точка называется грани́чной то́чкой мно́жества , если для любой её окрестности справедливо:

Множество всех граничных точек множества называется границей и обозначается

Свойства

• — замкнутое множество;
• — открытое множество тогда и только тогда, когда
• — замкнутое множество тогда и только тогда, когда
• — открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда
• , причем равенство достигается тогда и только тогда, когда

Примеры

Рассмотрим числовую прямую со стандартной топологией. Тогда: для :

• Для :

См. также

• Край многообразия
• Замыкание (топология)