Двумерное нормальное распределение пример, двумерное нормальное распределение график, двумерное нормальное распределение и его свойства, двумерное нормальное распределение зависимых величин

Двумерный случайный вектор имеет нормальное распределение, если его плотность равна

$f(x) = \frac{1}{2\pi\sqrt{\mathrm{det} C}} \exp \left\{ -\frac{1}{2}(x-m)^T C^{-1} (x-m) \right\},$

где

$m=(\mathbf{E}\xi_1, \mathbf{E}\xi_2)$

$C = ( \mathrm{Cov}_{ij} ) = \left( \begin{matrix} \mathrm{Cov}_{11}&\mathrm{Cov}_{12}\\ \mathrm{Cov}_{21}&\mathrm{Cov}_{22} \end{matrix} \right)$

— ковариационная матрица.

Плотность двумерного нормального распределения записывается также в виде

$f(x_1,x_2) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \times$

$\times \exp \left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[ \frac{(x_1-m_1)^2}{\sigma_1^2}-\rho \frac{2(x_1-m_1)(x_2-m_2)}{\sigma_1\sigma_2} +\frac{(x_2-m_2)^2}{\sigma_2^2}\right] \right\},$

где

$\mathrm{det} C = \mathrm{Cov}_{11} \mathrm{Cov}_{22}-\mathrm{Cov}_{12}^2 = \sigma_1^2\sigma_2^2 (1-\rho^2),$

— определитель ковариационной матрицы,

$\rho = \frac{\mathrm{Cov}_{12}}{\sigma_1\sigma_2} = \frac{\mathbf{E}(\xi_1-m_1)(\xi_2-m_2)}{\sigma_1\sigma_2}$

— коэффициент корреляции случайных величин и .

Многомерное нормальное распределение

Распределение случайного вектора в или совместное распределение случайных величин называется многомерным нормальным, если при любом фиксированном скалярное произведение

$(a,\xi) = \sum_{i=1}^k a_i\xi_i$

имеет одномерное нормальное распределение (в том числе и вырожденное одномерное: ).

Многомерный случайный вектор имеет нормальное распределение, если его плотность равна

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^k \ \mathrm{det} C}} \exp \left\{ -\frac{1}{2}(x-m)^T C^{-1} (x-m) \right\},$

где

$m=(\mathbf{E}\xi_1, \ldots, \mathbf{E}\xi_k)$

— вектор математических ожиданий,

$C = ( \mathrm{Cov}_{ij} ) = \left( \begin{matrix} \mathrm{Cov}_{11}&\ldots&\mathrm{Cov}_{1k}\\ \ldots&\ldots&\ldots\\ \mathrm{Cov}_{k1}&\ldots&\mathrm{Cov}_{kk} \end{matrix} \right)$

— ковариационная матрица.

См.также

Нормальное распределение

Двумерное нормальное распределение пример, двумерное нормальное распределение график, двумерное нормальное распределение и его свойства, двумерное нормальное распределение зависимых величин.

Chefeat.ru

Здоровое питание

Новое

Многомерное нормальное распределение

См.также