18-06-2024
Действие группы на некотором множестве объектов позволяет изучать симметрии этих объектов с помощью аппарата теории групп.
Содержание |
Говорят, что группа действует слева на множестве , если задан гомоморфизм из группы в симметрическую группу множества . Для краткости часто записывают как , или . Элементы группы называются в этом случае преобразованиями, а сама группа — группой преобразований множества .
Другими словами, группа действует на множестве , если задано отображение . обозначаемое , такое что
Аналогично, правое действие группы на задается гомоморфизмом , где — инверсная группа группы . При этом часто используют сокращенное обозначение: . При этом аксиомы гомоморфизма записываются следующим образом:
На топологических пространствах и гладких многообразиях также особо рассматривают действия групп, наделенных соответствующими дополнительными структурами: топологических групп и групп Ли. Действие топологической группы на топологическом пространстве называют непрерывным, если оно непрерывно как отображение двух топологических пространств. Аналогично определяется гладкое действие группы Ли на гладком многообразии.
Подмножество
называется орбитой элемента .
Действие группы на множестве определяет на нём отношение эквивалентности
При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому, если общее число классов эквивалентности равно , то
где попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия .
Подмножество
является подгруппой группы и называется стабилизатором или стационарной подгруппой элемента .
Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если , то найдется такой элемент , что
Если , то
Эта формула также влечёт следующие тождества:
Действие на себе слева является наиболее простым примером действия, в этом случае, и гомоморфизм задан как .
Аналогично определяется действие на себе справа, .
Эти два действия являются действиями подгрупп прямого произведения на с гомоморфизмом заданым как .
Пусть и гомоморфизм задан как . При этом для каждого элемента стабилизатор совпадает с централизатором :
Например, для элемента из центра группы (то есть ) имеем и .
Свободное действие группы, действие группы если турист отстал, влияние группы людей на отдельную личность.
Азамбужа (район), Екатеринбургский 37-й пехотный полк, Pamphilus, Нагловский, Дмитрий Станиславович.