Дели́мость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел.
Определение
Если для некоторого целого числа и целого числа существует такое целое число , что то говорят, что число делится нацело на или что делит
При этом число называется делителем числа , делимое будет кратным числа , а число q называется частным от деления a на b.
Хотя свойство делимости определено на всём множестве целых чисел, обычно рассматривается лишь делимость натуральных чисел. В частности, функция количества делителей натурального числа подсчитывает лишь его положительные делители.
Обозначения
- означает, что делится на
- или b \ a означает, что делит , или, что то же самое: — делитель .
Связанные определения
- У каждого натурального числа, большего единицы, имеются по крайней мере два натуральных делителя: единица и само это число. При этом натуральные числа, имеющие ровно два делителя, называются простыми, а имеющие больше двух делителей — составными. Единица имеет ровно один делитель и не является ни простым, ни составным.
- У каждого натурального числа, большего 1, есть хотя бы один простой делитель.
- Собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа. У простых чисел существует ровно один собственный делитель — единица.
- Вне зависимости от делимости целого числа на целое число , число a всегда можно разделить на b с остатком, то есть представить в виде:
- где .
- В этом соотношении число называется неполным частным, а число r — остатком от деления на . Как частное, так и остаток определяются однозначно.
- Число a делится нацело на b тогда и только тогда, когда остаток от деления a на b равен нулю.
- Всякое число, делящее как , так и , называется их общим делителем; максимальное из таких чисел называется наибольшим общим делителем. У всякой пары целых чисел есть по крайней мере два общих делителя: +1 и -1. Если других общих делителей нет, то эти числа называются взаимно простыми.
- Два целых числа и называются равноделимыми на целое число , если либо и , и делится на , либо ни , ни не делится на него.
Свойства
- Замечание: во всех формулах этого раздела предполагается, что — целые числа.
- Любое целое число является делителем нуля, и частное равно нулю :
- Любое целое число делится на единицу:
- На ноль делится только ноль:
- ,
причём частное в этом случае не определено.
- Единица делится только на единицу:
- Для любого целого числа найдётся такое целое число для которого
- Если и то Отсюда же следует, что если и то
- Для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы
Число делителей
Число положительных делителей натурального числа обычно обозначается , является мультипликативной функцией, для неё верна асимптотическая формула Дирихле:
в которой — постоянная Эйлера — Маскерони, а для Дирихле получил значение Этот результат многократно улучшался, и в настоящее время наилучший известный результат (получен в 2003 году Хаксли). Однако, наименьшее значение , при котором эта формула останется верной, неизвестен (доказано, что он не меньше, чем ).[1][2][3]
При этом средний делитель большого числа n в среднем растёт как , что было обнаружено А. Карацубой.[4]. По компьютерным оценкам М. Королёва .
Обобщения
Понятие делимости обобщается на произвольные кольца, например кольцо многочленов.
См. также
Ссылки
Примечания
- Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966.
- Аналитическая теория чисел
- Dirichlet Divisor Problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ В. И Арнольд Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 70. — 72 с.
Литература