27-06-2023
Неформально говоря, дизъюнктное объединение — это измененная операция объединения множеств в теории множеств, которая каждый элемент снабжает индексом множества, из которого этот элемент вошёл в объединение.
Содержание |
Пусть — семейство множеств, перечисленных индексами из . Тогда дизъюнктное объединение этого семейства есть множество
Элементы дизъюнктного объединения являются упорядоченными парами . Таким образом есть индекс, показывающий, из какого множества элемент вошёл в объединение. Каждое из множеств канонически вложено в дизъюнктное объединение как множество
При множества и не имеют общих элементов, даже если . В вырожденном случае, когда множества равны какому-то конкретному , дизъюнктное объединение есть декартово произведение множества и множества , то есть
Иногда можно встретить обозначение для дизъюнктного объединения двух множеств или следующее для семейства множеств:
Такая запись подразумевает, что мощность дизъюнктного объединения равна сумме мощностей множеств семейства. Для сравнения, декартово произведение имеет мощность, равную произведению мощностей.
В категории множеств дизъюнктным объединением является прямая сумма. Термин дизъюнктное объединение также используется в отношении объединения семейства попарно непересекающихся множеств. В этом случае дизъюнктное объединение обозначается, как обычное объединение множеств, совпадая с ним. Такое обозначение часто встречается в информатике. Более формально, если — это семейство множеств, то
есть дизъюнктное объединение в рассмотренном выше смысле тогда и только тогда, когда при любых и из выполняется следующее условие:
Дизъюнктное объединение.