Предпосылки и основная идея

В 1830-х годах Лиувилль создал теорию интегрирования в элементарных функциях, важным достижением которой было доказательство невозможности взятия в элементарных функциях интегралов от (то есть выразить функцию ошибок в элементарных функциях), , .

Нужно иметь в виду, что понятие элементарной функции — всего лишь соглашение. Если добавить функцию ошибок к классу элементарных функций, то первообразная станет элементарной. Тем не менее, можно бесконечно расширять таким образом класс элементарных функций, но всегда будут оставаться функции, первообразные которых не относятся к элементарным.

Обобщение его идей, предпринятое в начале XX века, и привело к созданию дифференциальной теории Галуа, которая, в частности, позволяет выяснить, имеет ли функция первообразную, которая выражается через элементарные функции. Дифференциальная теория Галуа основана на теории Галуа. Алгебраическая теория Галуа исследует расширения алгебраических полей, а дифференциальная теория Галуа — расширения дифференциальных полей, то есть полей, для которых введено дифференцирование, . В дифференциальной теории Галуа много похожего на алгебраическую теорию Галуа. Существенное различие этих построений состоит в том, что в дифференциальной теории Галуа используются матричные группы Ли, а в алгебраической теории Галуа — конечные группы.

Определения

Для любого дифференцируемого поля , есть подполе

,

которое называется полем констант . Для двух дифференциальных полей и , называется логарифмическим расширением , если является простым трансцендентным расширением (то есть для некоторого трансцендентного ), так что

для некоторого .

Это разновидность логарифмической производной. Для интуитивного понимания можно представить себе , как логарифм некоторого из , и тогда это условие аналогично правилу взятия производной сложной функции. При этом нужно иметь в виду, что логарифм, содержащийся в не обязательно единственный; с ним могут соседствовать несколько различных «логарифмообразных» расширений . Аналогично, экспоненциальным расширением называется трансцендентное расширение, которое удовлетворяет формуле

.

Таким образом можно представить себе этот элемент как экспоненту от из . Наконец, называется элементарным дифференциальным расширением , если имеется конечная цепочка подполей от до , где каждое расширение является алгебраическим, логарифмическим или экспоненциальным.

Примеры

Поле рациональных функций одной переменной с дифференцированием по этой переменной. Константами этого поля являются комплексные числа .

Основная теорема

Предположим, что и  — дифференциальные поля, для которых , и является элементарным дифференциальным расширением . Пусть принадлежит , а  — и, кроме того (то есть, содержит первообразную ). Тогда существуют , такие, что

Другими словами, «элементарная первообразная» есть только у тех функций, которые имеют вид, указанный в теореме. Таким образом, теорема утверждает, что только элементарные первообразные являются «простыми» функциями плюс конечное число логарифмов простых функций.

Ссылки

• Differential Galois Theory, M. van der Put and M. F. Singer

См. также

• Алгоритм Риша
• Элементарные функции