22-06-2024
Достаточная статистика для параметра , определяющая некоторое семейство распределений вероятности — статистика такая, что условная вероятность выборки при данном значении не зависит от параметра То есть выполняется равенство:
Достаточная статистика таким образом содержит в себе всю информацию о параметре , которая может быть получена на основе выборки X. Поэтому понятие достаточной статистики широко используется в теории оценки параметров.
Наиболее простой достаточной статистикой является сама выборка , однако действительно важными являются случаи, когда величина достаточной статистики значительно меньше величины выборки, в частности, когда достаточная статистика выражается лишь несколькими числами.
Достаточная статистика называется минимально достаточной, если для каждой достаточной статистики T существует неслучайная измеряемая функция g, что почти всюду.
Содержание |
Теорема факторизации даёт способ практического нахождения достаточной статистики для распределения вероятности. Она даёт достаточные и необходимые условия достаточности статистики и утверждение теорем иногда используется в качестве определения.
Пусть — некоторая статистика, а — условная функция плотности или функция вероятности (в зависимости от вида распределения) для вектора наблюдений X. Тогда является достаточной статистикой для параметра , если и только если существуют такие измеримые функции h и g,, что можно записать:
Ниже приведено доказательство для частного случая, когда распределение вероятностей является дискретным. Тогда — Функция вероятности.
Пусть данная функция имеет факторизацию, как в формулировке теоремы, и
Тогда имеем:
Отсюда видим, что условная вероятность вектора X при заданном значении статистики не зависит от параметра и соответственно — достаточная статистика.
Наоборот можем записать:
Из приведённого выше имеем, что первый множитель правой части не зависит от параметра и его можно взять за функцию h(x) из формулировки теоремы. Другой множитель является функцией от и и его можно взять за функцию Таким образом, получена необходимая декомпозиция, что завершает доказательство теоремы.
Пусть — последовательность случайных величин, что равны 1 с вероятностью p и равны 0 с вероятностью 1 — p (то есть, имеют распределение Бернулли). Тогда
если взять
Тогда данная статистика является достаточной согласно теореме факторизации, если обозначить
Пусть — последовательность случайных величин с распределением Пуассона. Тогда
де
Данная статистика является достаточной согласно теореме факторизации, если обозначить
Пусть — последовательность равномерно распределённых случайных величин . Для этого случая
Отсюда следует, что статистика является достаточной.
Для случайных величин с нормальным распределением достаточной статистикой будет
Достаточная статистика гамма распределения, достаточная статистика для пуассоновского, достаточная статистика геометрического распределения, достаточная статистика 6.0.
Файл:Aster novae-angliae 'alma potschke' 02.jpg, Джеймс, Дэвид (актёр), Категория:Судоходные компании Гренландии, Бхаррат Джагдео.