Едини́чная ма́трица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Определение

Квадратная матрица размера (порядка ), где для всякого , и для всяких , называется единичной матрицей порядка .

Единичную матрицу можно определить как матрицу , у которой , где - символ Кронекера.

Единичная матрица является частным случаем скалярной матрицы.

Обозначение

Единичная матрица размера обычно обозначается и имеет вид:

Так же используется и другое обозначение: .

Если из контекста ясно, какого размера матрица, то нижний индекс (указывающий порядок) опускается: , .

Свойства

• Произведение любой матрицы и единичной матрицы подходящего размера равно самой матрице:

• Квадратная матрица в нулевой степени дает единичную матрицу того же размера:

• При умножении матрицы на обратную ей тоже получается единичная матрица:

• Единичная матрица получается при умножении ортогональной матрицы на её транспонированную матрицу:

• Определитель единичной матрицы равен единице:

.

Примеры

Единичные матрицы первых порядков имеют вид

Замечание

Если взять две матрицы —: матрицу и единичную — то, приведением матрицы к единичной методом Гаусса, можно добиться одновременного приведения матрицы к матрице .

Литература

• См. список литературы по линейной алгебре

См. также

• Нулевая матрица