Задача о четырёх кубах заключается в отыскании всех целочисленных параметров диофантова уравнения.

Примеры решений

Наименьшие натуральные решения

Если разрешить отрицательные значения, то имеют место соотношения:

Бесконечные серии решений

Морделл, 1956 г.

Рамануджан

Неизвестный автор, 1825 г.

Д. Лемер, 1955 г.

В. Б. Лабковский

Эйлер и Бине

Харди и Райт

Г. Александров, 1972 г.

где и — любые целые числа.^[1]

Г. Александров вывел формулы, при помощи которых можно генерировать бесконечное количество выражений, подобных первому примеру Рамануджана, и путем реккурентных подстановок находить все варианты для заданного диапазона чисел:

где — одно из известных целочисленных решений (например, ). Сам же рамануджановский вариант получится, если . Формулы В.Б.Лабковского также являются частным случаем и получаются при .

См. также

• Гипотеза Эйлера

Примечания

Литература

• Харди Г. Двенадцать лекций о Рамануджане. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 336 с.
• О решении уравнений в целых числах. — М.: Физматлит, 1961. — 88 с.
• Решения Лемера и Морделла
• Решение Лабковского (Задание №2)
• Сизый С. В. 20. Сравнения любой степени по простому модулю // Лекции по теории чисел: Учебное пособие для математических специальностей. — Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
• Weisstein, Eric W. Diophantine Equation—3rd Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.