28-04-2023
Содержание |
Касательным вектором к гладкому многообразию в точке называется оператор , сопоставляющий каждой гладкой функции число и обладающий следующими свойствами:
Множество всех таких операторов в точке имеет естественную структуру линейного пространства, именно:
Совокупность всех касательных векторов в точке образует векторное пространство, которое называется касательным пространством в точке . Совокупность всех касательных векторов во всех точках многообразия образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением.
Понятие касательного вектора к многообразию в точке обобщает понятие касательного вектора к гладкому пути в пространстве Rn. Пусть в Rn задан гладкий путь :
Тогда существует единственный прямолинейный и равномерный путь , который его касается в момент времени t0:
Касание двух путей означает, что разность ; отношения касания путей в точке есть отношение эквивалентности. Kасательный вектор в точке x0 можно определить как класс эквивалентности всех гладких путей, проходящих через точку x0 в один и тот же момент времени, и касающихся друг с другом в этой точке.
Касательный вектор в точке гладкого подмногообразия евклидова пространства — вектор скорости в точке некоторой кривой в .
Иначе говоря, касательный вектор в точке подмногообразия, локально заданного параметрически:
есть произвольная линейная комбинация частных производных .
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Касательный вектор.