05-05-2023
В линейной алгебре, ковариантный вектор на векторном пространстве - это тоже самое, что и линейный функционал на этом пространстве.
В дифференциальной геометрии, ковариантный вектор на дифференцируемом многообразии это гладкое сечение кокасательного расслоения. Эквивалентно, ковариантный вектор на многообразии M это гладкое отображение тотального пространства касательного расслоения M в R ограничение которого на каждый слой, это линейный функционал на касательном пространстве. Это запишется так,
где αx линейно.
Содержание |
Далее подразумевается, что на пространстве, в котором существуют описанные объекты (или на многообразии, в касательном пространстве которого они существуют) задана невырожденная метрика.
Если определён невырожденный метрический тензор, то формально «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» можно считать просто разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть через набор ковариантных координат) или контравариантный (то есть через набор контравариантных координат). Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрическим тензором:
(здесь и ниже подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу, по правилу Эйнштейна).
Содержательно векторы и ковекторы различают по тому, какое из представлений для них естественно. Так, для ковекторов, например, для градиента — естественно разложение по дуальному базису, так как их естественная свертка (скалярное произведение) с обычным вектором (например, смещением) осуществляется без участия метрики, просто суммированием перемноженных компонент. Для обычных же векторов (к которым принадлежит и само смещение по пространственным координатам ) — естественно разложение по главному базису, так как они свёртываются с другими обычными векторами, такими, как вектор смещения по пространственным координатам, с участием метрики. Например, скаляр получается (как полный дифференциал) свёртыванием без участия метрики ковариантного вектора , являющегося естественным представлением 1-формы градиента, подействовавшей на скалярное поле, с контравариантным вектором , являющимся естественным представлением обычного вектора смещения по координатам; при этом сам с собой свёртывается с помощью метрики: , что находится в полном согласии с тем, что он контравариантный.
Если речь идет об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности — контравариантрности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения , являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свертываются с посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковариантные векторы (1-формы), в противном случае (свёртка требует участия метрики) — это контравариантные векторы. Если же пространство и координаты полностью абстрактны и нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает или становится также чисто условным.
Вопрос о том, является ли именно то представление, в каком мы видим объект, естественным для него, затронут уже чуть выше. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление, для ковектора же — ковариантное.
Ковектор.