Копула (лат. Copula) — это многомерная функция распределения, определённая на -мерном единичном кубе , такая что каждое её маргинальное распределение равномерно на интервале .

Теорема Склара заключается в следующем. Для произвольной двумерной функции распределения с одномерными маргинальными функциями распределения и существует копула, такая что

где мы отождествляем распределение с его функцией распределения. Копула содержит всю информацию о природе зависимости между двумя случайными величинами, которой нет в маргинальных распределениях, но не содержит информации о маргинальных распределениях. В результате информация о маргиналах и информация о зависимости между ними отделяются копулой друг от друга.

Некоторые свойства копулы имеют вид:

Границы Фреше для копулы

Минимальная копула — это нижняя граница для всех копул, только в двумерном случае соответствует строго отрицательной корреляции между случайными величинами:

Максимальная копула — это верхняя граница для всех копул, соответствует строго положительной корреляции между случайными величинами:

Архимедовы копулы

Одна частная простая форма копулы:

где называется функция-генератор. Такие копулы называются архимедовыми. Любая функция-генератор, которая удовлетворяет приведенным ниже свойствам служит основой для правильной копулы:

Копула-произведение, также называемая независимой копулой, — это копула, которая не имеет зависимостей между переменными, её функция плотности всегда равна единице.

Копула Клейтона (Clayton):

Для в копуле Клейтона, случайные величины статистически независимы.

Подход, основанный на функциях-генераторах, может быть распространен для создания многомерных копул при помощи простого добавления переменных.

Эмпирическая копула

При анализе данных с неизвестным распределением, можно построить "эмпирическую копулу" путем такой свертки, чтобы маргинальные распределения получились равномерными. Математически это можно записать так:

Число пар таких что

где x_(i) —представляет i-ая порядковая статистика x.

Применения

Моделирование зависимостей с помощью копул широко используется применительно к оцениванию финансовых рисков и в страховом анализе — например, для ценообразования en:collateralized debt obligations (CDOs). ^[1]

Кроме того, копулы также применялись к другим страховым задачам как гибкий инструмент.

Недавно, копулы были успешно использованы для формирования базы данных для анализа надежности автострадных мостов и для разнообразных моделирований со многими переменными в гражданском, механическом и шельфо-добывающем машиностроении.^{[источник не указан 820 дней]}

Примечания