Кососимметричная (кососимметрическая) матрица — квадратная матрица А над полем k характеристики, отличной от 2, удовлетворяющая соотношению:
где — транспонированная матрица.
Для n×n матрицы A это соотношение эквивалентно:
- для всех ,
где — элемент i-ой строки и j-го столбца матрицы A.
Свойства
- Ранг кососимметрической матрицы всегда чётный.
- Любая квадратная матрица В над полем характеристики, отличной от 2, есть сумма симметрической и кососимметрической матриц, которые определяются единственным образом.
- Ненулевые корни характеристического многочлена вещественной кососимметрической матрицы — чисто мнимые числа.
- Вещественная кососимметрическая матрица подобна блок-диагональной матрице с нулевыми диагональными блоками и диагональными блоками вида
-
- .
- Множество всех кососимметрических матриц порядка над полем образует алгебру Ли над относительно сложения матриц и коммутирования:
-
- .
См. также