Линейность по параметрам — свойство эконометрических моделей, позволяющее рассматривать их с эконометрической точки зрения (с точки зрения оценки параметров) как линейные модели.

Определение

Модель называется линейной по параметрам если функция регрессии f(x, b) обладает свойством:

где  — некоторые (вообще говоря — нелинейные) функции, не содержащие неизвестных параметров

Поскольку вторые и более высокого порядка производные по параметрам равны в этом случае нулю, то разложение функции регрессии в ряд Тейлора по параметрам приводит к следующему линейному представлению:

Если обозначить , то получаем обычную линейную регрессию относительно новых переменных.

Линеаризация

Многие нелинейные модели можно представить в форме, линейной по параметрам. Соответствующий процесс преобразования модели называется линеаризацией. Для линеаризации может использоваться логарифмирование и иные приемы. Пусть имеется следующая нелинейная модель (производственная функция Кобба-Дугласа):

где  — мультипликативная случайная компонента.

Логарифмируя это выражение получим линейную по параметрам модель:

Важно отметить, что линеаризуемость модели связана также со способом присоединения случайной компоненты в исходной модели. Например, модель линеаризовать нельзя. Часто случайную ошибку присоединяют специально именно таким образом, чтобы модель можно было линеаризовать.

Примеры

Полиномиальная модель

Полиномиальные модели используются для предварительной аппроксимации данных исходя из известной теоремы о приближении любых функций полиномами.

Логарифмическая регрессия

Это модель с постоянной эластичностью зависимой переменной по факторам.

Обратная линейная модель