Chefeat.ru

Здоровое питание

Несмещённая оценка

19-10-2023

Несмещённая оце́нка в математической статистике — это точечная оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру.

Определение

Пусть — выборка из распределения, зависящего от параметра . Тогда оценка называется несмещённой, если

.

В противном случае оценка называется смещённой, и случайная величина называется её смеще́нием.

Примеры

  • Пусть независимые случайные величины имеют конечную дисперсию . Построим оценки
— выборочная дисперсия,

и

— исправленная выборочная дисперсия.

Тогда является смещённой, а несмещённой оценками параметра . Смещенность можно доказать следующим образом:

\begin{align} \operatorname{E}[S^2_n] &= \operatorname{E}\bigg[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2 \bigg] = \operatorname{E}\bigg[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \big((X_i-\mu)-(\overline{X}-\mu)\big)^2 \bigg] \\ &= \operatorname{E}\bigg[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 - 2(\overline{X}-\mu)\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu) + (\overline{X}-\mu)^2 \bigg] \\ &= \operatorname{E}\bigg[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 - (\overline{X}-\mu)^2 \bigg] = \sigma^2 - \operatorname{E}\big[ (\overline{X}-\mu)^2 \big] \\ &= \sigma^2 - \frac{1}{n}\sigma^2 = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2. \end{align}

Где и - среднее и его оценка соответственно.

Литература и некоторые ссылки

  • M. G. Kendall. "The advanced theory of statistics (vol. I). Distribution theory (2nd edition)". Charles Griffin & Company Limited, 1945.
  • M. G. Kendall and A. Stuart. "The advanced theory of statistics (vol. II). Inference and relationship (2nd edition)". Charles Griffin & Company Limited, 1967.
  • A. Papoulis. Probability, random variables, and stochastic processes (3rd edition). McGrow-Hill Inc., 1991.
  • G. Saporta. "Probabilités, analyse des données et statistiques". Éditions Technip, Paris, 1990.
  • J. F. Kenney and E. S. Keeping. Mathematics of Statistics. Part I & II. D. Van Nostrand Company, Inc., 1961, 1959.
  • I. V. Blagouchine and E. Moreau: "Unbiased Adaptive Estimations of the Fourth-Order Cumulant for Real Random Zero-Mean Signal", IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 57, no. 9, pp. 3330–3346, September 2009.
  • An Illuminating Counterexample

Несмещённая оценка.

© 2014–2023 chefeat.ru, Россия, Челябинск, ул. Речная 27, +7 (351) 365-27-13