Полная производная функции — производная функции по времени вдоль траектории.

Расчёт полной производной функции по времени t, (в отличие от частной производной, ) не подразумевает, что другие аргументы (т.е. иные нежели аргумент, t, по которому ведётся полное дифференцирование: x и y) постоянны при изменяющемся t. Полная производная включает в себя эти непрямые зависимости от t (т.е. x(t) и y(t)) для описания зависимости f от t.

Пример №1

Например, для упомянутой функции f = f(t, x(t), y(t)) полная производная функции вычисляется по следующему правилу:

что упрощается до

где  — частные производные.

Следует отметить, что обозначение является условным и не означает деления дифференциалов. Кроме того, полная производная функции зависит не только от самой функции, но и от траектории.

Пример №2

Например, полная производная функции :

Здесь нет так как сама по себе («явно») не зависит от .

Приложения

• Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма

См. также

• Конвективная производная
• Производная Лагранжа
• Производная по направлению