Полунорма или преднорма — обобщение понятия норма; в отличие от последней, полунорма может равняться нулю на ненулевых элементах пространства.

Определение

Полунормой называется функция , в линейном пространстве над полем вещественных или комплексных чисел, удовлетворяющая следующим условиям:

1. Абсолютная однородность: для любого скаляра
2. Неравенство треугольника: для всех

Пространство называется полунормированным пространством.

Свойства

Это свойство следует из первого условия определения и равенства , здесь первый нуль принадлежит полю вещественных или комплексных чисел, а второй и третий — пространству :

(где следует из линейности )

Это свойство также получается из первого условия при .

Если предположить существование такого , что , то из первого условия определения следует, что и . Воспользовавшись вторым условием, получаем противоречие с первым свойством.

Литература

• Рудин У. Функциональный анализ, пер. с англ., — М., 1975.