23-10-2023
Проективное преобразование — это преобразование проективной плоскости, переводящее прямые в прямые.
Содержание |
Проективное преобразование — это взаимно-однозначное отображение проективного пространства на себя, сохраняющее отношение порядка частично упорядоченного множества всех подпространств.
Проективное преобразование прямой — биективное преобразование прямой, переводящее гармоническую четверку точек в гармоническую четверку точек.
Проективное преобразование плоскости — это взаимно-однозначное отображение проективной плоскости на себя, при котором для любой прямой образ также является прямой.
причем .
Проективное преобразование называется инволюцией, если для любой точки P верно, что .
Если - инволюция, то .
Если проективное преобразование прямой имеет хотя бы одну такую точку P, что , то - инволюция.
Если нетождественная инволюция проективной прямой имеет неподвижные точки, то их число равно либо двум, либо нулю. Инволюция, имеющая 2 неподвижные точки, называется гиперболической. Инволюция, не имеющая неподвижных точек, называется эллиптической.
Инволюция определяется заданием двух пар соответствующих точек.
Коллинеацией называется проективное преобразование, переводящее точки в точки, прямые в прямые и сохраняющее отношение инцидентности точек и прямых, а также двойное отношение любой четверки коллинеарных точек точек. Коллинеации образуют группу. Требование сохранения двойного отношения четверки коллинеарных точек избыточно, но это сложно доказывается. Коллинеации рассматривают вместе с корреляциями, проективными преобразованиями, переводящими точки в прямые, а прямые в точки.
Пусть на проективной плоскости имеются 2 различные прямые и не принадлежащая им точка S. Преобразование проективной плоскости называется перспективой, если и для любюй точки точки коллинеарны.
Перспективное отображение биективно, сохраняет точку пересечения прямых и сохраняет двойное отношение четверки точек.
Гомологией называется нетождественная коллинеация, для которой существует поточечно неподвижная прямая p, называемая осью гомологии.
Для всякой гомологии существует неподвижная точка P (центр гомологии), обладающая тем свойством, что всякая инцидентная ей прямая неподвижна. Кроме центра P и точек оси p гомология неподвижных точек не имеет. Если , то гомология называется параболической, иначе - гиперболической.
При гомологии плоскости точка и ее образ лежат на одной прямой с центром гомологии, а прямая и ее образ пересекаются на оси гомологии.
Гомологию можно задать центром, осью и парой соответственных прямых. Гомологию можно также задать центром, осью и т.н. константой гомологии, отличной от .
Инволюционная гомология имеет константу гомологии равную -1.
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Проективное преобразование.