Производная обратной функции

Пусть - дифференцируемая функция от аргумента x в некотором интервале . Если в уравнении y считать аргументом, а x - функцией, то возникает новая функция , где - функция обратная данной.

Содержание

Для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е

Доказательство

Пусть - дифференцируемая функция, .
Пусть - приращение независимой переменной y и - соответствующее приращение обратной функции .
Напишем тождество

Переходя в этом равенстве к пределу при , которое влечет за собой стремление к нулю (), получим:

, где - производная обратной функции.

Замечание
Если пользоваться обозначениями Лейбница, то выше доказанная формула примет вид

^[1] .

А. В. Кудрявцев, Б. П. Демидович «Краткий курс высшей математики», ISBN 5-02-013927-0