Стереографическая проекция — центральная проекция, отображающая двумерную сферу (с одной выколотой точкой) на плоскость.

Определение

Плоскость касается сферы в некоторой точке (на приведённом рисунке это южный полюс сферы), центром проекции является точка , диаметрально противоположная (на рисунке точка — северный полюс сферы). Через каждую точку сферы проходит единственная прямая, соедининяющая и . Эта прямая пересекает плоскость в единственной точке , которая, таким образом, является образом точки при стереографической проекции. В результате получается взаимно однозначное отображение сферы с выколотой точкой на плоскость.

Для того, чтобы получить взаимно однозначное отображение целой сферы, нужно дополнить плоскость элементом, являющимся образом выколотой точки . Этот элемент — так называемая бесконечно удалённая точка, обозначаемая символом . Плоскость, дополненная элементом , называется расширенной плоскостью. Стереографическая проекция целой сферы на расширенную плоскость является гомеоморфным отображением, при стремлении прообраза его образ .

Свойства

• Стереографическая проекция является конформным отображением — она сохраняет углы между кривыми и форму бесконечно малых фигур. Стереографическая проекция переводит окружности на плоскости в окружности на сфере, а прямые на плоскости — в окружности, проходящие через центр проекции .

• Стереографическая проекция отображает сопряжённые пучки меридианов и параллелей на сфере в сопряжённые эллиптический и гиперболический пучки окружностей на плоскости.

• Стереографическая проекция осуществляет гомеоморфизм комплескной проективной прямой на двумерную сферу: для этого нужно рассмотреть двумерную (над полем ) вещественную плоскость с координатами как одномерную (над полем ) прямую комплексного переменного .

История

Стереографическая проекция была открыта Аполлонием Пергским ок. 200 года до н. э. Свойства этой проекции были описаны Клавдием Птолемеем в трактате «Планисферий». Античные астрономы использовали стереографическую проекцию для изображения небесной сферы на плоскости в астролябии.

В фотографии

Стереографическая проекция используется для отображения сферических панорам. Это приводит к интересным результатам: области, удалённые от центра проекции, сильно растягиваются, производя так называемые «эффекты маленькой планеты». В сравнении с другими азимутальными проекциями, стереографическая обычно производит самые приятные на вид панорамы; это связано с точной передачей форм в результате конформности проекции.

См. также

• Проекция (геометрия)
• Сфера Римана
• Комплексная плоскость

Литература

• Розенфельд Б. А., Сергеева Н. Д. Стереографическая проекция. Серия «Популярные лекции по математике», вып. 53. М.: Наука, 1973.

Ссылки

• Примеры «маленьких планет»