Теоре́ма Э́йлера в теории чисел гласит:

Частным случаем теоремы Эйлера является малая теорема Ферма (при простом m). В свою очередь, теорема Эйлера является следствием теоремы Лагранжа.

Доказательства

С помощью теории чисел

Пусть  — все различные натуральные числа, меньшие и взаимно простые с ним.

Рассмотрим всевозможные произведения для всех от до .

Поскольку взаимно просто с и взаимно просто с , то и также взаимно просто с , то есть для некоторого .

Отметим, что все остатки при делении на различны. Действительно, пусть это не так, то существуют такие , что

или

Так как взаимно просто с , то последнее равенство равносильно тому, что

или .

Это противоречит тому, что числа попарно различны по модулю .

Перемножим все сравнения вида . Получим:

или

.

Так как число взаимно просто с , то последнее сравнение равносильно тому, что

или

■

С помощью теории групп

Рассмотрим мультипликативную группу обратимых элементов кольца вычетов . Её порядок равен согласно определению функции Эйлера. Поскольку число взаимно просто с , соответствующий ему элемент в является обратимым и принадлежит . Элемент порождает циклическую группу, порядок которой, согласно теореме Лагранжа, делит , отсюда . ■

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
• Функция Эйлера
• Малая теорема Ферма