22-07-2023
Тест отношения правдоподобия (LR, англ. Likelihood ratio test) — статистический тест, используемый для проверки ограничений на параметры статистических моделей, оценённых на основе выборочных данных. Является одним из трёх базовых тестов проверки ограничений наряду с тестом множителей Лагранжа и тестом Вальда.
Содержание |
Пусть имеется эконометрическая модель с вектором параметров . Необходимо проверить по выборочным данным гипотезу , где g-совокупность (вектор) некоторых функций параметров. Идея теста основана на сравнении функций правдоподобия для длинной модели (без ограничений) и короткой модели (с ограничениями). Оказывается, что следующая простая статистика отношения правдоподобия
где - значения логарифмической функции правдоподобия длинной и короткой моделей соответственно.
при нулевой гипотезе имеет (возможно асимптотически) распределение - Хи-квадрат с q степенями свободы (q-количество ограничений). Поэтому, если значение статистики больше критического значения этого распределения при заданном уровне значимости, то ограничения отвергаются и предпочтение отдается длинной модели. В противном случае предпочтение отдается короткой модели.
В случае, если случайные ошибки модели являются , то можно показать, что
В частности, при проверке значимости регрессии , следовательно
Доказано, что тест Вальда (W), тест отношения правдоподобия (LR) и тест множителей Лагранжа (LM)- асимптотически эквивалентные тесты (LM=LR=W). Тем не менее для конечных выборок значения статистик не совпадают. Для линейных ограничений доказано неравенство . Тем самым тест отношения правдоподобия занимает некоторое среднее положение по частоте отвержения нулевой гипотезы по сравнению с тестами множителей Лагранжа и тестом Вальда. В случае нелинейных ограничений первая часть неравенства выполняется, а вторая - вообще говоря, нет.
Вместо LR-теста можно проводить асимптотический F-тест, статистика которого выражается через LR-статистику следующим образом .
Тест отношения правдоподобия.