24-08-2023
Механика сплошных сред | ||||||||||
Сплошная среда | ||||||||||
|
||||||||||
См. также: Портал:Физика |
Уравнение Эйлера — одно из основных уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Названо в честь Л. Эйлера, получившего это уравнение в 1752 году (опубликовано в 1757 году). По своей сути является уравнением движения жидкости.
Содержание |
Рассмотрим движение идеальной жидкости. Выделим внутри неё некоторый объём V. Согласно второму закону Ньютона, ускорение центра масс этого объёма пропорционально полной силе, действующей на него. В случае идеальной жидкости эта сила сводится к давлению окружающей объём жидкости и, возможно, воздействию внешних силовых полей. Предположим, что это поле представляет собой силы инерции или гравитации, так что эта сила пропорциональна напряжённости поля и массе элемента объёма. Тогда
где S — поверхность выделенного объёма, g — напряжённость поля. Переходя, согласно формуле Гаусса — Остроградского, от поверхностного интеграла к объёмному и учитывая, что , где — плотность жидкости в данной точке, получим:
В силу произвольности объёма V подынтегральные функции должны быть равны в любой точке:
Выражая полную производную через конвективную производную и частную производную:
получаем уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести:
где — плотность жидкости,
— давление в жидкости,
— вектор скорости жидкости,
— вектор напряжённости силового поля,
— оператор набла для трёхмерного пространства.
Для случая стационарного, одномерного потока жидкости или газа уравнение Эйлера принимает вид:
В этой форме уравнение часто используется для решения различных прикладных задач гидродинамики и газодинамики. В частности, интегрированием этого уравнения по при постоянной плотности жидкости получается известное уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости:
Пусть . Используя известную формулу
перепишем соотношение в форме
Беря ротор и учитывая, что
а частные производные коммутируют, получаем что
В случае, если происходит адиабатическое движение жидкости, то уравнение Эйлера можно переписать с использованием тепловой функции следующим образом:
Следовательно:
используя известное соотношение:
и применяя операцию ротор к уравнению Эйлера получим искомое представление в виде:
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Гидродинамика. — М., 1986. — («Теоретическая физика», том VI).
Русский перевод мемуара Эйлера, в котором впервые опубликованы уравнения движения идеальной жидкости
Уравнение Эйлера.