Формула Лиувилля-Остроградского

Формула Лиуви́лля-Острогра́дского — формула, связывающая определитель Вронского (вронскиа́н) для решений дифференциального уравнения и коэффициенты в этом уравнении.

Пусть есть дифференциальное уравнение вида

тогда где — определитель Вронского

Для линейной однородной системы дифференциальных уравнений

где — непрерывная квадратная матрица порядка , справедлива формула Лиувилля-Остроградского

где — след матрицы

Содержание

1 Правило дифференцирования определителя размерности 2
2 Правило дифференцирования определителя размерности
3 Доказательство для уравнения второго порядка
4 Доказательство для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
5 Доказательство для линейного дифференциального уравнения произвольного порядка
6 Применение формулы Лиувилля-Остроградского
7 Пример
- 7.1 Используемая литература

Правило дифференцирования определителя размерности 2

Производная определителя по переменной х имеет вид

Правило дифференцирования определителя размерности

Пусть $\Delta = \Delta(x) = \det \left( \begin{matrix} a_{11}(x) & a_{12}(x) & \dots & a_{1n}(x)\\ a_{21}(x) & a_{22}(x) & \dots & a_{2n}(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1}(x) & a_{n2}(x) & \dots & a_{nn}(x)\\ \end{matrix} \right)$

Тогда для производной верно

$\Delta'(x) = \begin{vmatrix} a_{11}'(x) & a_{12}'(x) & \dots & a_{1n}'(x)\\ a_{21}(x) & a_{22}(x) & \dots & a_{2n}(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1}(x) & a_{n2}(x) & \dots & a_{nn}(x)\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11}(x) & a_{12}(x) & \dots & a_{1n}(x)\\ a_{21}'(x) & a_{22}'(x) & \dots & a_{2n}'(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1}(x) & a_{n2}(x) & \dots & a_{nn}(x)\\ \end{vmatrix} + \dots + \begin{vmatrix} a_{11}(x) & a_{12}(x) & \dots & a_{1n}(x)\\ a_{21}(x) & a_{22}(x) & \dots & a_{2n}(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1}'(x) & a_{n2}'(x) & \dots & a_{nn}'(x)\\ \end{vmatrix}$

(в -м слагаемом продифференцирована -я строка)

Доказательство

Воспользуемся формулой полного разложения определителя

$\Delta(x) = \sum_{i_1, i_2, \dots, i_n} (-1)^{P(i_1, i_2, \dots, i_n)} a_{1 i_1}(x) a_{2 i_2}(x) \cdots a_{n i_n}(x)$

Сумма взята по всевозможным перестановкам чисел , - четность перестановки.

Дифференцируя это выражение по , получим

$\begin{align}[l] \Delta'(x) &= \sum_{i_1, i_2, \dots, i_n} (-1)^{P(i_1, i_2, \dots, i_n)} \frac{d\left(a_{1 i_1}(x) a_{2 i_2}(x) \cdots a_{n i_n}(x)\right)}{dx} = \\ &=\sum_{i_1, i_2, \dots, i_n} (-1)^{P(i_1, i_2, \dots, i_n)} \left( a_{1 i_1}'(x) a_{2 i_2}(x) \cdots a_{n i_n}(x) + \dots + a_{1 i_1}(x) a_{2 i_2}(x) \cdots a_{n i_n}'(x) \right) = \\ &=\sum_{i_1, i_2, \dots, i_n} (-1)^{P(i_1, i_2, \dots, i_n)} a_{1 i_1}'(x) a_{2 i_2}(x) \cdots a_{n i_n}(x) + \\ &+\sum_{i_1, i_2, \dots, i_n} (-1)^{P(i_1, i_2, \dots, i_n)} a_{1 i_1}(x) a_{2 i_2}'(x) \cdots a_{n i_n}(x) + \\ &+\dots + \\ &+\sum_{i_1, i_2, \dots, i_n} (-1)^{P(i_1, i_2, \dots, i_n)} a_{1 i_1}(x) a_{2 i_2}(x) \cdots a_{n i_n}'(x) \end{align}$

В каждой сумме продифференцированы элементы -й строки и только они. Заменив суммы определителями, получим

Доказательство для уравнения второго порядка

Пусть в уравнении функции непрерывны на , а

— решения данного уравнения.

Продифференцировав определитель Вронского получим

Первое слагаемое равно 0, так как этот определитель содержит 2 одинаковые строки. Подставив

во второе слагаемое получим

Прибавив первую строку, домноженную на q, ко второй, получим

решения линейно независимы, поэтому

— дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Интегрируя, получим

Доказательство для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть вектор-функции — решения линейной системы ОДУ. Введем матрицу следующим образом

$\Phi(x) = || \begin{matrix} {\mathbf y}_1(x)& {\mathbf y}_2(x)& \dots& {\mathbf y}_n(x) \end{matrix} ||$

Тогда . Воспользуемся тем, что - решения системы ОДУ, то есть .

В матричном виде последнее представимо в виде $|| \begin{matrix} {\mathbf y}_1'(x)& {\mathbf y}_2'(x)& \dots& {\mathbf y}_n'(x) \end{matrix} || = || \begin{matrix} A(x){\mathbf y}_1(x)& A(x){\mathbf y}_2(x)& \dots& A(x){\mathbf y}_n(x) \end{matrix} || = A(x) \Phi(x)$

или вводя производную от матрицы как матрицу из производных каждого элемента

$\Phi'(x) = A(x) \Phi(x)\,$

Пусть - -я строка матрицы . Тогда

$\varphi_i'(x) = \sum_{j=1}^n a_{ij}(x) \varphi_j(x)\,$

Последнее означает, что производная от -й строки матрицы есть линейная комбинация всех строк этой матрицы с коэффициентами из -й строки матрицы . Рассмотрим определитель матрицы , в которой -я строка продифференцирована. Определитель не изменится, если из -й строки этой матрицы вычесть линейную комбинацию всех остальных строк.

$\left| \begin{matrix} \varphi_1(x)\\ \varphi_2(x)\\ \vdots\\ \varphi_i'(x)\\ \vdots\\ \varphi_n(x)\\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} \varphi_1(x)\\ \varphi_2(x)\\ \vdots\\ \sum_{j=1}^n a_{ij}(x)\varphi_j(x)\\ \vdots\\ \varphi_n(x)\\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} \varphi_1(x)\\ \varphi_2(x)\\ \vdots\\ \sum_{j=1}^n a_{ij}(x)\varphi_j(x) -\sum_{j\neq i} a_{ij}(x)\varphi_j(x) \\ \vdots\\ \varphi_n(x)\\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} \varphi_1(x)\\ \varphi_2(x)\\ \vdots\\ a_{ii}(x) \varphi_i(x)\\ \vdots\\ \varphi_n(x)\\ \end{matrix} \right| = a_{ii}(x) W(x)$

Пользуясь формулой дифференцирования определителя, получаем

Последнее обыкновенное дифференциальное уравнение имеет решение

Доказательство для линейного дифференциального уравнения произвольного порядка

Линейное дифференциальное уравнение -го порядка

эквивалентно следующей системе

$\begin{align} y_{n-1}'(x) &= -P_1(x) y_{n-1}(x) - \dots - P_{n-1}(x) y_1(x) - P_n(x) y_0(x)\\ y_{n-2}'(x) &= y_{n-1}\\ \vdots\\ y_{1}'(x) &= y_{2}\\ y_{0}'(x) &= y_{1}\\ \end{align}$

с матрицей следующего вида

$A(x)=\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0\\ 0 & 0 & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & 0 & \dots & 0 & 1\\ -P_n(x) & -P_{n-1}(x) & \dots & -P_2(x) & -P_1(x) \\ \end{matrix} \right)$

Вронскианы исходного уравнения и системы совпадают, а след матрицы равен . Подстановкой в формулу для системы получаем

$W(x) = W(x_0) e^{-\int_{x_0}^x P_1(\zeta) d\zeta}$

Применение формулы Лиувилля-Остроградского

Пусть известно решение линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Используя формулу Лиувилля-Остроградского возможно найти линейно независимое от него решение той же системы.

Распишем вронскиан:

поэтому

$\to y_2=y_1\left(\int \frac{W}{y_1^2} dx +B\right)= y_1\int \frac{C e^{-\int P(x)dx}}{y_1^2}dx+B y_1$

Так как для линейной независимости и достаточно , приняв получим

Пример

Пусть в уравнении известно частное решение . Воспользовавшись формулой Лиувилля-Остроградского, получим

Тогда общее решение однородного уравнения

Используемая литература

Агафонов С. А.,Герман А. Д.,Муратова Т. В. Дифференциальные уравнения. Учебник для вузов -М. Изд-во МГТУ им. Баумана, 1999.-336с (Серия Математика в техническом университете ;Вып. VIII),Глава 5 параграф 2 .
Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. - 2-е изд. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001 - 344 с.

Chefeat.ru

Здоровое питание

Новое