19-07-2023
Функциональное уравнение Коши для функции имеет вид
Функцию, удовлетворяющую этому уравнению, называют аддитивной. Этот термин применяется для произвольных функций, не только над .
Уравнение Коши является одним из старейших и наиболее простых функциональных уравнений, однако его решение в вещественных числах является достаточно сложным. В рациональных числах может быть доказано с использованием элементарной математики, что существует единственное семейство решений вида , где c — произвольная константа. Это семейство решений является одним из решений и на множестве вещественных чисел. Дальнейшие ограничения на могут исключать другие решения, например:
С другой стороны, если нет никаких дополнительных ограничений на , то существует бесконечно много других функций, которые удовлетворяют уравнению. Это было доказано в 1905 году Георгом Гамелем с использованием базиса Гамеля, а значит и аксиомы выбора). Обобщение Третьей проблемы Гильберта на случай многомерных пространств использует это уравнение.
Содержание |
Докажем, что за знак функции можно выносить рациональные числа. Возьмём :
Теперь положим и :
Собрав всё вместе, получим:
Положив и обозначив , мы имеем единственное семейство решений над .
Доказательство существования нелинейных решений не конструктивно и основано на аксиоме выбора. С её помощью доказывается существование базиса Гамеля в любом векторном пространстве, в том числе бесконечномерном.
Рассмотрим как векторное пространство над полем : в нём есть базис Гамеля. Возьмём коэффициент перед некоторым базисным вектором в разложении числа по базису — это и будет значение . Полученная функция принимает рациональные значения (как коэффициент при разложении над ) и не равна тождественно нулю (), а потому не может быть линейна. Нетрудно понять, что она аддитивна, то есть удовлетворяет уравнению Коши.
Сейчас мы докажем, что всякое нелинейное решение должно быть достаточно необычной функцией — его график должен быть всюду плотен в . Это означает, что любой, сколь угодно малый круг на плоскости содержит по крайней мере одну точку этого графика. Из этого легко выводятся другие свойства, такие как разрывность в любой точке, немонотонность и неограниченность на любом интервале.
Мы можем, поделив функцию на , считать, что . Если функция не линейна, то для некоторого : положим . Покажем теперь, как найти точку графика в произвольном круге с центром в точке , радиуса , где . Ясно, что этого достаточно для всюду плотности.
Положим и выберем рациональное число , близкое к , таким образом, чтобы:
Затем выберем рациональное число , близкое к , так, чтобы:
Теперь возьмем и, используя функциональное уравнение, получим:
Но тогда , то есть точка оказалась внутри круга.
Функциональное уравнение Коши.