ARIMA (англ. autoregressive integrated moving average) - интегрированная модель авторегрессии — скользящего среднего - модель и методология анализа временных рядов, иногда называемые моделями (или методологией) Бокса-Дженкинса . Модель ARIMA(p,d,q) означает, что разности временного ряда порядка подчиняются модели ARMA(p,q)

Также данная модель интерпретируется как ARMA(p+d,q)- модель с d единичными корнями. При d=0 имеем обычные ARMA-модели.

С помощью лагового оператора данные модели можно записать следующим образом:

или сокращенно

Простейшим примером ARIMA-модели является известная модель случайного блуждания

Следовательно это модель ARIMA(0,1,0)

Интегрированные временные ряды

ARIMA-модели позволяют моделировать интегрированные или разностно-стационарные временные ряды (DS-ряды, diference stationary).

Временной ряд называется интегрированным порядка k (обычно пишут ), если разности ряда порядка k, то есть является стационарными, в то время как разности меньшего порядка (включая нулевого порядка, то есть сам временной ряд) не являются стационарными относительно некоторого тренда рядами (TS-рядами, trend stationary). В частности I(0)-это стационарный процесс.

Порядок интегрированности временного ряда и есть порядок d модели ARIMA(p,d,q).

Методология ARIMA (Бокса-Дженкинса)

Подход ARIMA к временным рядам заключается в том, что в первую очередь оценивается стационарность ряда. Различными тестами выявляются наличие единичных корней и порядок интегрированности временного ряда (обычно ограничиваются первым или вторым порядком). Далее при необходимости (если порядок интегрированности больше нуля) ряд преобразуется взятием разности соответствующего порядка и уже для преобразованной модели строится некоторая ARMA-модель поскольку предполагается, что полученный процесс является стационарным, в отличие от исходного нестационарного процесса (разностно-стационарного или интегрированного процесса порядка d)

Модели ARFIMA

Теоретически порядок интегрированности d временного ряда может быть не целой величиной, а дробной. В этом случае говорят о дробно-интегрированых моделях авторегрессии-скользящего среднего (ARFIMA, AutoRegressive Fractional Integrated Moving Average). Для понимания сущности дробного интегрирования необходимо рассмотреть разложение оператора взятия d-ой разности в степенной ряд по степеням лагового оператора для дробных d (разложение в ряд Тейлора):

Литература

• Айвазян С.А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. Том 2. — М.: Юнити-Дана, 2001. — 432 с. — ISBN 5-238-00305-6
• Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0
• Эконометрика. Учебник / Под ред. Елисеевой И.И. — 2-е изд. — М.: Финансы и статистика, 2006. — 576 с. — ISBN 5-279-02786-3