Lu-разложение с выбором главного элемента по строке, lu-разложение 9 букв, lu разложение с частичным выбором ведущего элемента онлайн, lu разложение библиотека питон

LU-разложение — представление матрицы в виде , где — нижняя треугольная матрица, а — верхняя треугольная матрица. LU-разложение еще называют LU-факторизацией.

LU-разложение используется для решения систем линейных уравнений и для обращения матриц. Этот метод является одной из разновидностей метода Гаусса.

Вывод формулы

В силу назначения LU-разложения нас будет интересовать только случай, когда матрица A невырождена.

Поскольку и в первой строке матрицы L, и в первом столбце матрицы U, все элементы, кроме, возможно, первого, равны нулю, имеем

Если , то или . В первом случае целиком состоит из нулей первая строка матрицы L, во втором — первый столбец матрицы U. Следовательно, L или U вырождена, а значит, вырождена A, что противоречит предположению. Таким образом, если , то невырожденная матрица A не имеет LU-разложения.

Пусть , тогда и . Поскольку L и U определены с точностью до умножения U на константу и деления L на ту же константу, мы можем потребовать, чтобы . При этом .

Разделим матрицу A на клетки:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & w^T \\ v & A' \\ \end{pmatrix}$ ,

где имеют размерность соответственно (N-1)×1, 1×(N-1), (N-1)×(N-1). Аналогично разделим на клетки матрицы L и U:

$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ v_l & L' \\ \end{pmatrix},\ U = \begin{pmatrix} a_{11} & w_u^T \\ 0 & U' \\ \end{pmatrix}$

Уравнение

принимает вид

Решая систему уравнений относительно , получаем:

Окончательно имеем:

$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ v/a_{11} & L' \\ \end{pmatrix}$

$U = \begin{pmatrix} a_{11} & w^T \\ 0 & U' \\ \end{pmatrix}$

Итак, мы свели LU-разложение матрицы N×N к LU-разложению матрицы (N-1)×(N-1).

Выражение называется дополнением Шура элемента в матрице A.

Заметим, что — не скаляр, а матрица (N-1)×(N-1).

Алгоритм

Один из алгоритмов для вычисления LU-разложения приведён ниже.

Будем использовать следующие обозначения для элементов матриц , , ; причём диагональные элементы матрицы : , . Тогда, если известно LU-разложение матрицы, её определитель можно вычислить по формуле = произведению элементов на диагонали матрицы U.

Найти матрицы и можно следующим образом (выполнять шаги следует строго по порядку, так как следующие элементы находятся с использованием предыдущих):

Для

В итоге мы получим матрицы — и . В программной реализации данного метода (компактная схема Гаусса) для представления матриц и можно обойтись всего одним массивом, в котором совмещаются матрицы и . Например, так (для матрицы размером ):

$\begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ l_{21} & u_{22} & u_{23} \\ l_{31} & l_{32} & u_{33} \\ \end{pmatrix}$

См. также

Литература

Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. — М.: Мир, 1991. — 376 с. — ISBN 5-03-001941-3

Lu-разложение с выбором главного элемента по строке, lu-разложение 9 букв, lu разложение с частичным выбором ведущего элемента онлайн, lu разложение библиотека питон.

Chefeat.ru

Здоровое питание