Вписанный угол — термин планиметрии; обозначает угол, вершина которого лежит на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность.
Свойства
- Теорема о вписанном угле:
Доказательство
Пусть — вписанный угол окружности с центром , опирающийся на дугу . Докажем, что . Рассмотрим три возможных случая расположения луча ВО относительно угла АВС.
- 1. Луч совпадает с одной из сторон , например со стороной . В этом случае дуга меньше полуокружности, поэтому . Так как — внешний угол равнобедренного , а углы при основании равнобедренного треугольника равны, один из них это , значит их сумма равна , a . Отсюда следует, что .
- 2. Луч делит на два угла. В этом случае луч пересекает дугу в некоторой точке . Точка разделяет дугу на две дуги: и . По доказанному в п.1 и . Складывая эти равенства почленно, получаем: , или .
- 3. Луч лежит вне . В этом случае дуга составляет часть дуги . По доказанному в п.1 и . . Т.к. дуга , то .
- Следствия:
- Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
- Угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
- Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной около него окружности.
- Угол между касательной и хордой является предельным случаем вписанного угла и также равен половине дуги, на которую опирается.
