У этого термина существуют и другие значения, см.
Прогрессия.
Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии), где , : [1].
Описание
Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:
Если и , прогрессия является возрастающей последовательностью, если , — убывающей последовательностью, а при — знакочередующейся[2].
Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:
то есть каждый член равен среднему геометрическому его соседей.
Примеры
- Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата[3]:8-9.
- Последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
- 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
- 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая прогрессия со знаменателем -½.
- — геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и арифметическая прогрессия с шагом 0).
Свойства
Доказательство
Пусть — последовательность :
- Полученное соотношение является характеристическим для арифметической прогрессии.
- Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:
- ,
- Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле:
- Сумма первых членов геометрической прогрессии:
Примечания
- Геометрическая прогрессия на mathematics.ru
- Геометрическая прогрессия — статья из Большой советской энциклопедии (3-е издание)
- Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923.
См. также