16-10-2023
Квадрату́ра кру́га — задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу. Наряду с трисекцией угла и удвоением куба, является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки.
Если обозначить радиус заданного круга, — длину стороны искомого квадрата, то, в современном понимании, задача сводится к решению уравнения: откуда получаем: Доказано, что с помощью циркуля и линейки точно построить такую величину невозможно.
Из формулировки проблемы видно, что она тесно связана с практически важной задачей нахождения площади круга. В древнем Египте уже знали, что эта площадь () пропорциональна квадрату диаметра круга , и для вычислений использовали формулу[1]:
Из этой формулы видно, что площадь круга диаметра считалась равной площади квадрата со стороной В современной терминологии, это значит, что египтяне принимали значение равным
Древнегреческие математики своей задачей считали не вычисление, а точное построение искомого квадрата («квадратуру»), причём, в соответствии с тогдашними принципами, только с помощью циркуля и линейки. Проблемой занимались крупнейшие античные учёные — Анаксагор, Антифон, Архимед и другие.
Гиппократ Хиосский в IV веке до н. э. первым обнаружил, что некоторые криволинейные фигуры (гиппократовы луночки) допускают точную квадратуру. Расширить класс таких фигур античным математикам не удалось. По другому пути пошёл его современник Динострат, показавший, что квадратуру круга можно строго выполнить с помощью особой кривой — квадратрисы[2].
В «Началах» Евклида (III век до н. э.) вопрос о площади круга не затрагивается. Важным этапом в исследовании проблемы стало сочинение Архимеда «Измерение круга», в котором впервые строго доказана теорема: площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, у которого один катет равен радиусу круга, а другой — длине окружности. Архимед также дал оценку[3] числа
Дальнейшие исследования индийских и исламских и европейских математиков по этой теме долгое время касались в основном уточнения значения числа и подбора приближённых формул для квадратуры круга. В средневековой Европе задачей занимались Фибоначчи, Николай Кузанский и Леонардо да Винчи. Позднее обширные исследования опубликовали Кеплер и Гюйгенс. Постепенно укреплялась уверенность в том, что число иррационально, то есть не может быть точно выражено с помощью конечного числа арифметических операций (включая извлечение корня), отсюда вытекала бы невозможность квадратуры круга[4].
Иррациональность числа была доказана Ламбертом в 1766 году в работе «Предварительные сведения для ищущих квадратуру и спрямление круга». Труд Ламберта содержал пробелы, вскоре исправленные Лежандром (1794 год). Окончательное решение дал в 1882 году Линдеман (см. следующий раздел)[5]. Математики также предложили множество практически полезных способов приближённой квадратуры круга[6].
Если принять за единицу измерения радиус круга и обозначить x длину стороны искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: , откуда: . С помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня; отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины . Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа , которая была доказана в 1882 году Линдеманом.
Однако эту неразрешимость следует понимать, как неразрешимость при использовании только циркуля и линейки. Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если, кроме циркуля и линейки, использовать другие средства (например, квадратрису). Простейший механический способ предложил Леонардо да Винчи[7]. Изготовим круговой цилиндр с радиусом основания и высотой , намажем чернилами боковую поверхность этого цилиндра и прокатим его по плоскости. За один полный оборот цилиндр отпечатает на плоскости прямоугольник площадью . Располагая таким прямоугольником, уже несложно построить равновеликий ему квадрат.
Диагональ искомого квадрата приближённо равна 2,5 радиусам круга. Построив квадрат со стороной указанной длины и взяв половину его диагонали, получим сторону искомого приближённого квадрата[8].
Математическое доказательство невозможности квадратуры круга не мешало многим энтузиастам тратить годы на решение этой проблемы. Тщетность исследований по решению задачи квадратуры круга перенесла этот оборот во многие другие области, где он попросту обозначает безнадежное, бессмысленное или тщетное предприятие. См. также Вечный двигатель.
Квадратура круга.
