Для любой функции , определённой на множестве , можно ввести понятие модуля непрерывности этой функции, обозначаемого . Модуль непрерывности — тоже функция, по определению равная

или верхней грани колебания функции по всем подотрезкам из длиной меньше . Также в литературе встречаются другие обозначения: и (реже) .

Свойства модуля непрерывности

Введённая функция обладает рядом интересных свойств.

• При любом она неотрицательна.
• Функция не убывает.
• Функция полуаддитивна, если выпукло:

  Докажем:

  Тогда:

  ч. т. д.

• По определению в точке 0 модуль непрерывности равен 0:

• Если функция определена на отрезке и непрерывна на нём, то , и наоборот. Данный предел обозначается также .

Пусть , так как функция неотрицательна, то

при любых и из таких, что расстояние между ними меньше . Если мы зафиксируем , а будет варьироваться в пределах какой-нибудь окрестности , мы увидим, что выписанное выражение является определением непрерывности функции в точке , а поскольку вместо мы можем взять любую точку отрезка, получим, что непрерывна на нём.

Докажем теперь обратное утверждение. Пусть непрерывна на . Тогда она равномерно непрерывна на этом отрезке, как говорит нам теорема Кантора — Гейне. Запишем это утверждение в символьном виде:

Тогда, как было сказано в определении модуля непрерывности,

Но, как мы только что показали

а стало быть, верхняя грань, которой является модуль непрерывности, меньше или равна и уж точно меньше . Но, поскольку не убывает, при получим неравенство:

или

что по определению означает существование предела модуля непрерывности в точке 0 справа, ч. т. д.

• Если непрерывна на , то её модуль непрерывности также непрерывная функция на отрезке .

  Докажем это утверждение. По только что доказанному свойству непрерывен в точке 0 справа. Возьмём положительное число и, используя свойства неотрицательности и полуаддитивности, выпишем следующее неравенство:

  При устремлении к нулю справа крайние части неравенства стремятся к нулю, а значит, по теореме о двух милиционерах, и средняя часть (которая представляет собой приращение функции при положительном приращении аргумента) стремится к нулю, то есть предел функции в точке справа равен её значению в этой точке. Это означает непрерывность справа во всех точках . Теперь, подставив в неравенство , таким же образом получим непрерывность слева и равенство левых пределов правым в каждой точке отрезка, что и означает непрерывность на всём отрезке.

Связанные понятия

Модуль непрерывности оказался тонким инструментом исследования разнообразных свойств функции, таких как:

• принадлежность классам Липшица и Гёльдера;
• гладкость;
• дифференцируемость;
• возможности эффективного приближения функции полиномами (неравенство Джексона — Стечкина)
• и многих других.

Вариации и обобщения

Модули непрерывности высших порядков

Нетрудно заметить, что в определении модуля непрерывности используется конечная разность первого порядка от функции .

Если вместо конечной разности первого порядка взять конечную разность порядка , то получим определение модуля непрерывности порядка . Обычное обозначение для таких модулей — .

Свойства

• Если  — целое число, то

Неклассические модули непрерывности

Известно много разных обобщений понятия модуля непрерывности. Например, можно заменить оператор конечной разности другим разностным оператором с произвольными коэффициентами. Можно разрешить этим коэффициентам быть непостоянными и меняться в зависимости от точки, где берётся этот разностный оператор. Можно разрешить и шагу, с которым берётся разностный оператор также зависеть от точки. Подобные неклассические модули непрерывности находят своё применение в различных областях современной математики.