Теорема гейне кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции на отрезке, обобщенная теорема гейне кантора, теорема кантора гейне, теорема гейне кантора о равномерной

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Кантора (значения).

Теоре́ма Ка́нтора — Ге́йне в математическом и функциональном анализе гласит, что функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нём.

Формулировка

Пусть даны два метрических пространства и Пусть также дано компактное подмножество и определённая на нём непрерывная функция Тогда равномерно непрерывна на

п·о·р

Доказательство

Воспользуемся доказательством от противного.

Пусть — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте ), но не равномерно непрерывная на нём. Тогда существует такое , что для всех существуют такие и , расстояние между которыми меньше , но расстояние между их образами не менее :

но $d(f(x),f(y))\geqslant \varepsilon.$

Возьмём последовательность , сходящуюся к 0, например, . Построим последовательности и так, чтобы

, но

— компакт, поэтому можно выделить сходящиеся последовательности:

$x_{k_j} \to \bar x \in A, \quad y_{k_j} \to \bar y \in A.$

Но так как расстояние между ними стремится к нулю, по лемме о вложенных отрезках они стремятся к одной точке: . И, так как непрерывна , что противоречит предположению, что .

Стало быть, функция, непрерывная на компакте, действительно равномерно непрерывна на нём.

Замечания

В частности, непрерывная вещественнозначная функция, определённая на отрезке, равномерно непрерывна на нём.
В условиях теоремы компакт нельзя заменить на произвольное открытое множество. Например, функция

непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной.

Теорема гейне кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции на отрезке, обобщенная теорема гейне кантора, теорема кантора гейне, теорема гейне кантора о равномерной.

Chefeat.ru

Здоровое питание

Новое

Формулировка

Замечания