Теорема Брауэра о неподвижной точке — важная теорема о неподвижной точке, применимая к непрерывным отображениям в конечномерных пространствах, являющаяся основной для некоторых более общих теорем.

Брауэр доказал теорему для случая в 1909.

Формулировка

Обычно теорема формулируется в следующем виде: Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку.

Более подробно, рассмотрим замкнутый шар в n-мерном пространстве . Пусть — некоторое непрерывное отображение этого шара в себя (не обязательно строго внутрь себя, не обязательно биективное, т.е. даже не обязательно сюръективное). Тогда найдется такая точка , что .

Доказательство

Из подсчёта гомологических или гомотопических групп сферы и шара вытекает, что не существует ретракции шара на его границу.

Пусть теперь — отображение шара в себя, не имеющее неподвижных точек. Построим на его основе ретракцию шара на его границу. Для каждой точки рассмотрим прямую, проходящую через точки и (она единственна, так как по предположению неподвижных точек нет.). Пусть — точка пересечения этой прямой с границей шара, причем лежит между и . Легко видеть, что отображение — ретракция шара на его границу. Противоречие.

Вариации и обобщения

• Теорема Шаудера о неподвижной точке (англ.) является обобщением теоремы Брауэра на случай выпуклых компактов в банаховых пространствах.
• Теорема Шаудера — Тихонова является обобщением теоремы Шаудера на случай локально выпуклых топологических векторных пространств.

Следствия

• Теорема о причёсывании ежа
• Теорема Лефшеца

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Fixed Point Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.