Теорема Гамильтона

Теоре́ма Га́мильтона — Кэ́ли — известная теорема из теории матриц, названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли.

Теорема Гамильтона — Кэли
Любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению.

Непосредственная проверка оправдывает это утверждение для матрицы порядка 2:

Характеристический многочлен

тогда

Теорема Гамильтона — Кэли обуславливает существование аннулирующего многочлена.
Теорема Гамильтона — Кэли эквивалентна утверждению, что характеристический многочлен делится без остатка на минимальный многочлен.

Доказательство

Рассмотрим присоединённую (союзную) λ-матрицу , где — единичная матрица, тогда согласно определению присоединённой матрицы

Это означает, что -матрица делится без остатка на , а значит, согласно следствию из теоремы Безу для -матриц , и следовательно .

См. также

Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1973.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.