Многоуго́льник — это геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная.
Существуют три различных варианта определения многоугольника:
- Плоская замкнутая ломаная;
- Плоская замкнутая ломаная без самопересечений;
- Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.
В любом случае, вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника.
Связанные определения
- Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
- Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
- Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый.
- Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от -180° до 180°.
Виды многоугольников
- Плоским многоугольником называется фигура, которая состоит из многоугольника и ограниченной им конечной части площади.
- Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих (эквивалентных) условий:
- он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины. (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон);
- он является пересечением (то есть общей частью) нескольких полуплоскостей;
- Каждая диагональ лежит внутри многоугольника;
- любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит.
- Выпуклый многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.
- Выпуклый многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.
Свойства
- Сумма внутренних углов плоского выпуклого n-угольника равна .
- Число диагоналей всякого -угольника равно .
Вариации и обобщения