Моме́нт случа́йной величины́ — числовая характеристика распределения данной случайной величины.
Определения
Если дана случайная величина определённая на некотором вероятностном пространстве, то:
- -м нача́льным моментом случайной величины где называется величина
-
- если математическое ожидание в правой части этого равенства определено;
- -м центра́льным моментом случайной величины называется величина
-
- -м абсолю́тным и -м центральным абсолютным моментами случайной величины называется соответственно величины
-
- и
- -м факториальным моментом случайной величины называется величина
-
- если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.
Абсолютные моменты могут быть определены не только для целых , но и для любых положительных действительных в случае, если соответствующие интегралы сходятся.
Замечания
- Если определены моменты -го порядка, то определены и все моменты низших порядков
- В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные, и наоборот. Например:
- и т. д.
Геометрический смысл некоторых моментов
- равняется математическому ожиданию случайной величины и показывает относительное расположение распределения на числовой прямой.
- равняется дисперсии распределения и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.
- , будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение
-
- называется коэффициентом асимметрии.
- контролирует, насколько ярко выражена вершина распределения в окрестности среднего. Величина
-
- называется коэффициентом эксцесса распределения
Вычисление моментов
-
если
- а для дискретного распределения с функцией вероятности
если
-
- Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов то моменты могут быть вычислены по следующей формуле:
-
Обобщения
Можно также рассматривать нецелые значения . Момент, рассматриваемый как функция от аргумента , называется преобразованием Меллина.
Можно рассматривать моменты многомерной случайной величины. Тогда первый момент будет вектором той же размерности, второй — тензором второго ранга (см. матрица ковариации) над пространством той же размерности (хотя можно рассматривать и след этой матрицы, дающий скалярное обобщение дисперсии). И т. д.