Chefeat.ru
Здоровое питание
Новое
Теорема Менелая
12-10-2023
Теоре́ма Менела́я или теорема о трансверсалях или теорема о полном четырёхстороннике — это классическая теорема аффинной геометрии.
Содержание |
Формулировка
|
Если точки и лежат соответственно на сторонах и треугольника или на их продолжениях[1], то они коллинеарны тогда и только тогда, когда где , и обозначают отношения направленных отрезков. |
В частности, из теоремы следует соотношение для длин:
Проведем через точку С прямую, параллельную прямой AB, и обозначим через K точку пересечения этой прямой с прямой A'C' . Поскольку треугольники и подобны (по двум углам), то
- .
Так как подобными являются также треугольники и , тем самым
- .
Исключая CK, получаем
- .
Остаётся заметить, что возможны два расположения точек и : либо две из них лежат на соответствующих сторонах треугольника, а третья — на продолжении, либо все три лежат на продолжениях соответствующих сторон. Отсюда для отношений направленных отрезков имеем
Вариации и обобщения
- Тригонометрический эквивалент:
- , где все углы — ориентированные.
- В сферической геометрии теорема Менелая приобретает вид
- В геометрии Лобачевского теорема Менелая приобретает вид
- Теорема Менелая является следствием следующей теоремы:
Теорема (Дубовик): Рассмотрим на комплексной плоскости положительно ориентированный ΔАВС (обход по его вершинам осуществляется против часовой стрелки). Пусть ,, - комплексные числа, причём . Рассмотрим точки плоскости А1, В1, С1 с комплексными координатами:
Точки А1, В1, С1 коллинеарны тогда и только тогда, когда число .
Действительность одного из чисел ,, , в данной теореме, влечёт действительность двух других. Тогда точки А1, В1, С1 лежат на прямых АС, АВ и ВС соответственно и мы получаем теорему Менелая.
История
Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» Менелая Александрийского (ок. 100 г. н. э.). Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу. Возможно, что плоский случай теоремы рассматривался ранее в несохранившихся «Поризмах» Евклида.
Сферическая теорема Менелая была основным средством, с помощью которого решались разнообразные прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии. Ей посвящён ряд сочинений под названием «Книга о фигуре секущих», составленных такими математиками средневекового Востока, как Сабит ибн Корра, ан-Насави, ал-Магриби, ас-Сиджизи, ас-Салар, Джабир ибн Афлах, Насир ад-Дин ат-Туси.
Итальянский математик Джованни Чева в 1678 году предложил доказательство теоремы Менелая и родственной ей теоремы Чевы для плоского случая, основанное на рассмотрении центра тяжести системы из трёх точечных грузов.
Применения
См. также
Примечания
- ↑ на самих сторонах может лежать ровно две или ни одной точки
Ссылки
- Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902. — 334 с.
- Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
- Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 тт.. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 73-74. — ISBN 5-94057-170-0
- Шаль, Мишель О теореме Птоломея относительно треугольника, пересеченного трансверсалью // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. — М., 1883. — Т. 2.
- Sidoli N. The sector theorem attributed to Menelaus // SCIAMVS. — 2006. — № 7. — С. 43–79.
Теорема Менелая.