Chefeat.ru

Здоровое питание

Дисперсионный анализ

06-10-2023

Дисперсионный анализ — метод в статистической математике, направленный на поиск зависимостей в экспериментальных данных путём исследования значимости различий в средних значениях[1][2]. В литературе также встречается обозначение ANOVA (от англ. ANalysis Of VAriance)[3].

Двухфакторная модель

Одной из используемых моделей данных в дисперсионном анализе является двухфакторная модель. Она состоит в учёте систематических (первый фактор) и случайных (второй фактор) ошибок в определении измеряемых параметров.

Пусть с помощью методов производится измерение нескольких параметров, чьи точные значения — . В таком случае, результаты измерений различных величин различными методами можно представить как:


x_{i,j} = a_{i} + b{i,j} + d{i,j}
,

где:

  • — результат измерения -го параметра по методу ;
  • — точное значение -го параметра;
  • — систематическая ошибка измерения -го параметра по методу ;
  • — случайная ошибка измерения -го параметра по методу .

Тогда дисперсии случайных величин , , , (где:


x_{*,j} = \frac{1}{n} \sum_{i} x_{i,j},


x_{i,*} = \frac{1}{m} \sum_{j} x_{i,j},


x_{*,*} = \frac{1}{nm} \sum_{i, j} x_{i,j}

) выражаются как:


s^{2} = \frac{1}{nm} \sum_{i} \sum_{j} ( x_{i,j} - x_{*,*} )^{2}


s_{0}^2 = \frac{1}{nm} \sum_{i} \sum_{j} ( x_{i,j} - x_{i,*} - x_{*,j} + x_{*,*} )^{2}


s_{1}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i} ( x_{i,*} - x_{*,*} )^{2}


s_{2}^2 = \frac{1}{m} \sum_{j} ( x_{*,j} - x_{*,*} )^{2}

и удовлетворяют тождеству:


s^2 = s_{0}^2 + s_{1}^2 + s_{2}^2

Двухфакторная схема позволяет лишь обнаружить систематические расхождения, но непригодна для их численной оценки с последующим исключением из результатов наблюдений. Эта цель может быть достигнута только при многократных измерениях (то есть при повторных использованиях указанной схемы над данными повторных экспериментов).

Примечания

  1. Дисперсионный анализ.
  2. Дисперсионный анализ // Большая советская энциклопедия.
  3. А.Д. Наследов. Математические методы психологического исследования. СПб, 2008. ISBN 5-9268-0275-7

Литература

  • Шеффе Г. Дисперсионный анализ, пер. с англ.. — М., 1963.
  • Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. — 2. — М., 1965.

Дисперсионный анализ.

© 2014–2023 chefeat.ru, Россия, Челябинск, ул. Речная 27, +7 (351) 365-27-13