Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров  — матрица размеров , определённая как .

Например,

     и     

То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.

Свойства транспонированных матриц

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.

Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.

Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.

При транспонировании можно выносить скаляр.

Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Связанные определения

Симметрическая матрица — матрица, удовлетворяющая соотношению . Для того чтобы матрица А была симметрической, необходимо и достаточно, чтобы:

• Матрица А была квадратной;
• Элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны, то есть .

Антисимметрическая (кососимметрическая) матрица — матрица, удовлетворяющая соотношению . Для того чтобы матрица А была антисимметрической, необходимо и достаточно, чтобы:

• матрица А была квадратной,
• элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и различны по знаку,

Отсюда следует, что элементы главной диагонали такой матрицы равняются нулю.

См. также

• Сопряжённо-транспонированная матрица