14-06-2023
Теорема Лежандра в сферической тригонометрии позволяет упростить решение сферического треугольника, если известно, что его стороны достаточно малы по сравнению с радиусом сферы, на которой он расположен.
Пусть дан сферический треугольник со сторонами , малыми по сравнению с радиусом сферы , углами и эксцессом . Построим на плоскости треугольник со сторонами , равными по длине соответствующим сторонам данного сферического треугольника, то есть, поскольку для сторон сферического треугольника принята угловая мера, и они выражаются в радианах, то . Обозначим углы такого треугольника (выраженные в радианах) через . Теорема Лежандра утверждает, что справедливы соотношения[1]:
Таким образом, если стороны сферического треугольника малы по сравнению с радиусом сферы, мы можем заменить его на плоский треугольник с такими же по длине сторонами и на треть эксцесса меньшими углами и вычислять элементы плоского треугольника.
Эта теорема была сформулирована А.М.Лежандром в 1787 году[2] и доказана им в 1798 году[3]. Однако, по некоторым источникам, она была известна ещё в 1740 году, когда Ш.М. де ла Кондамин использовал её при обработке градусных измерений перуанской экспедиции[4].
Сферическая тригонометрия | |
---|---|
Основные понятия | Сферический треугольник · Полярный треугольник · Эксцесс · Двуугольник |
Формулы и соотношения | Теоремы косинусов · Теорема синусов · Формула пяти элементов · Формула половины стороны · Мнемоническое правило Непера · Сферическая теорема Пифагора · Формулы Деламбра · Формулы аналогии Непера · Теорема Лежандра · Решение треугольников |
Связанные темы | Сферическая система координат · Сферическая геометрия · Трёхгранный угол |
Теорема Лежандра (сферическая тригонометрия).