11-06-2024
В сферической тригонометрии, формула половины стороны применяется для решения сферических треугольников.
Содержание |
где
Интересно, что R является тангенсом радиуса описанной окружности данного сферического треугольника[1] . Три формулы на самом деле представляют собой одну и ту же формулу, в которой лишь заменены обозначения соответствующих углов и сторон.
По теореме косинусов имеем[1] :
Тогда по формуле двойного угла (положительный корень взят потому, что сторона меньше 180 градусов):
Применяя формулу сложения аргументов и формулу преобразования суммы функций, получаем:
Аналогично для косинуса половины стороны получаем:
Поэтому
Двойственную к этой формуле, то есть формулу для половины угла, можно получить из неё как обычно — заменой стороны на дополнение соответствующего угла до 180 градусов и углов на дополнения соответствующих сторон до 180 градусов.
Двойственными к формулам половины стороны являются формулы для половины угла[1] :
где
Причём в этом случае r будет тангенсом вписанной окружности сферического треугольника[1] .
Аналогичная формула в планиметрии известна под названием теоремы котангенсов.
Формула половины стороны применяется для решения косоугольного сферического треугольника по трём сторонам, то есть когда надо по данным сторонам вычислить каждый из его углов[1] . Формула половины угла, в свою очередь, используется для решения косоугольного треугольника по трём углам, то есть когда надо при данных трёх углах вычислить каждую из его сторон[1] . Если же у сферического треугольника один из углов прямой, вместо этих формул для его решения применяется более удобное мнемоническое правило Непера.
Сферическая тригонометрия | |
---|---|
Основные понятия | Сферический треугольник · Полярный треугольник · Эксцесс · Двуугольник |
Формулы и соотношения | Теоремы косинусов · Теорема синусов · Формула пяти элементов · Формула половины стороны · Мнемоническое правило Непера · Сферическая теорема Пифагора · Формулы Деламбра · Формулы аналогии Непера · Теорема Лежандра · Решение треугольников |
Связанные темы | Сферическая система координат · Сферическая геометрия · Трёхгранный угол |
Формула половины площади круга, формула половины дуги окружности, формула половины котангенса, формула половины длины окружности.